În spatele Colibei Adormirii Maicii Domnului, o scară îngustă conduce la peștera Sfântului Acachie care se găsește exact sub casă. Peștera este o deschidere îngustă în prăpastia stâncoasă. Toiagul și patul lui, acesta din urmă făcut din trei crăci groase de măslin și o a patra servind drept pernă, se păstrează în acest adăpost al începuturilor viețuirii kavsokalivite.

Sfântul a murit pe la 1730/1740, în vârstă fiind de 100 de ani, iar la scurtă vreme după moartea sa așezarea de la Kavsokalivia a fost recunoscută oficial ca schit idioritmic.