Cuviosul Maxim trăia în diferite peşteri ale pustiului Athonit şi în colibe pe care el însuși le construia din buruieni şi tufe. Fiindcă deseori îi ardea coliba şi trebuia să meargă în altă parte, a primit denumirea de „Kavsokalivitul” (Coliba arsă). Făcând ascultare de Cuviosul Grigorie Sinaitul, Sfântul Maxim s-a aşezat într-o peşteră unde îi primea pe cei care veneau la el.

Această peşteră se află aproape de Kathisma Preasfintei Treimi a lui Kir Isaia ce ţine de Marea Lavră. Pe cărarea care duce de la Marea Lavră spre Schitul Sfintei Ana, cu puţin înainte de Katisma lui „Kir Isaia”, în partea dreaptă, într-un pom, există înfiptă o Cruce, pe care mai demult scria următoarele: „În acest loc a adormit în Domnul Cuviosul Maxim Kavsokalivitul”. Mulţi pelerini şi monahi au simţit o mireasmă inexprimabilă când au trecut prin acel loc.

În jurul anului 1988, câţiva muncitori de la Marea Lavră, în timp ce curăţau pădurea în partea de Sud a regiunii lui „Kir Isaia”, au găsit o veche peşteră care ar fi fost peştera Cuviosului Maxim.

Pomenirea Cuviosului Maxim Kavsokalivitul se face pe data de 13 ianuarie.